Răspuns:
u(S)=2
Explicație pas cu pas:
Pentru a arata ca un numar sau o suma nu este patrat perfect, se va merge pe ultima cifra a acestuia/acesteia. Noi stim ca ultima cifra a unui patrat perfect apartine multimii {0; 1; 4; 5; 6; 9} => Este indeajuns sa arati ca ultima cifra a numarului tau este diferinta de ultima cifra a unui patrat perfect, respectiv, ca are ultima cifra {2; 3; 7; 8}.
Ai o metoda mai sus, eu o sa iti calculez suma pentru a putea intelege mai usor si a fixa informatia mai repede.
S=2¹+2²+2³+...+2⁸¹ /*2
2S=2²+2³+2⁴+...+2⁸²
------------------------------ Scadem din a doua relatie, prima relatie
=> 2S-S=2²-2¹+2³-2²+2⁴-2³+...+2⁸²-2⁸¹
Observam ca termenii asemenea, dar cu semn schimbat, se reduc.
=> S=2⁸²-2
Pentru a putea afla ultima cifra a numarului 2⁸², trebuie sa analizam comportamentul puterilor lui 2 si ii stabilim secventele repetitive, precum si frecventa. In alte cuvinte, sa vedem care cifre se repeta si cat de des.
u(2¹)=u(2)=2
u(2²)=u(4)=4
u(2³)=u(8)=8
u(2⁴)=u(16)=6
u(2⁵)=u(32)=2
u(2⁶)=u(64)=4
=> Observam ca secventa repetitiva este 2; 4; 8; 6, iar frecventa este 4.
Este indeajuns sa impartim puterea la frecventa (4) si sa ridicam numarul nostru la rest pentru a afla ultima cifra.
82:4=20 rest 2 => u(2⁸²)=u(2²)=u(4)=4
In aceste conditii u(S)=u[u(2⁸²)-u(2)]=u(4-2)=u(2)=2 => u(S)=2
