Răspuns:
a) 2
b) 2 si 17.
Explicație pas cu pas:
Pentru n^3 + 1 = nr prim: afirmatia nu este adevarata pentru orice valoare naturala a lui n:
* pt n = 0: 0 + 1 = 1 nu este prim
* pt n = 1: 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2 este prim
* pt n = 3: 3^3 + 1 = 27 + 1 = 28, nu este prim pt ca are si ati divizori proprii(2, 4, 7, 14), in afara de cei improprii(1 si 28).
* pt n = 4: 4^4 + 1 = 64 + 1 = 65, nu este prim(are divizor propriu pe 5)
* Am verificat in continuare de la 5 pana la 13 si am obtinut numerele:
126(2), 217(7, 31), 344(2), 513(3), 730(2), 1001(7, 11, 13), 1729( 7, 13, 19), care nu sunt prime(am scris dupa fiecare, in paranteza, cel putin un divizor propriu).
Pana acum nu avem decat numarul prim 2 care satisface descompunerea data:
2 = 1^3 + 1.
Pentru n^4 + 1 = nr prim avem aceeasi situatie ca si mai sus, pentru prima afirmatie, adica
afirmatia nu este adevarata pentru orice valoare naturala a lui n.
* este adevarata pentru:
n = 1: 1^4 + 1 = 1 + 1 = 2, care este primul numar prim,
n = 2: 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17 , care este si el numar prim
* nu este adevarata pt n ∈ {0, 3, ...}, pentru ca obtinem respectiv numerele
0^4 + 1 = 0 + 1 = 1 si 3^4 +1 = 81 + 1 = 82(div. proprii 2 si 419
CARE NU SUNT PRIME.
Deci 2 si 17 ar fi pana acum exemple de numere care se descompun in termeni care verifica relatia n^4 + 1.
