Răspuns:
[tex]a_n=\frac{2n+\alpha}{n+1}=\frac{2n+2+\alpha -2}{n+1}=2+\frac{\alpha-2}{n+1}[/tex]
Comparam a[tex]_{n-1}[/tex] cu a[tex]_n[/tex]
[tex]a_n-a_{n-1}=2+\frac{\alpha -2}{n+1}-2-\frac{\alpha -2}{n}=\frac{n(\alpha -2)-(n+1)(\alpha -2)}{n(n+1)}=\frac{2-\alpha}{n(n+1)}[/tex]
Daca [tex]\alpha >2[/tex] atunci [tex]2-\alpha <0[/tex] iar sirul este strict descrescator
Limita superioara este [tex]a_0=\alpha[/tex], iar din moment ce sirul este infinit si strict descrescator, nu are limita inferioara
Daca [tex]\alpha =2[/tex] atunci [tex]a_n=2,\forall n\in\mathbb{N}[/tex] - sir constant (monoton si marginit)
Daca [tex]\alpha <2[/tex] atunci [tex]2-\alpha >0[/tex] - sir strict crescator
Limita inferioara [tex]a_0=\alpha[/tex]; nu are limita superioara
Observam ca sirul este monoton pentru orice [tex]\alpha\in\mathbb{R}[/tex]
