Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Dupa definitia derivatei, [tex]\lim_{x \to 4} \dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=f^{'}(4).~~Calculam f~'(x)=(\sqrt{x}-lnx)'=(\sqrt{x})'-(ln)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x} } -\dfrac{1}{x}.~~Deci~f~'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x} } -\dfrac{1}{x}.\\Atunci~f~'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4} } -\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4 } -\dfrac{1}{4}=0.[/tex]
b) Functia este crescatoare daca derivata ei este pozitiva, deci f '(x)>0, ⇒
[tex]\dfrac{1}{2\sqrt{x} } -\dfrac{1}{x} >0,~~\dfrac{1}{2\sqrt{x} } -\dfrac{2}{2(\sqrt{x})^{2} }>0,~~\dfrac{\sqrt{x} -2}{2*(\sqrt{x})^{2}} >0,~~[/tex]
Deoarece 2(√x)²>0 pe D=(0;+∞), ⇒√x -2>0, ⇒√x >2, ⇒(√x)²>2² ⇒x>4.
Deci f(x) este crescatoare pentru x∈(4;+∞).
c) Asimptota verticala, functia poate avea numai in punctele (valorile lui x) unde functia nu este definita. Pe intervalul (0;+∞) functia nu este definita numai in x=0. Trebuie sa calculam limita functiei pentru x →0-0.
Totusi se ajunge la asimptota x=0
p.s. am calculat limaia ( e complicat... aplicata l'Hopital de cateva ori) si obtinuta =-∞.
