Vom stabili domeniul de existență a ecuației.
Pentru aceasta, punem condițiile să nu se anuleze numitorii.
[tex]\it x^2+3x\ne0 \Rightarrow x(x+3)\ne0 \Rightarrow x\ne0\ \c{s}i\ x\ne-3\\ \\ x^2-3x\ne0 \Rightarrow x(x-3)\ne0 \Rightarrow x\ne0\ \c{s}i\ x\ne3\\ \\ x^2-9\ne0 \Rightarrow x^2-3^2\ne0 \Rightarrow (x-3)(x+3)\ne0 \Rightarrow x\ne-3\ \c{s}i\ x\ne3\\ \\ Prin\ urmare,\ domeniul\ de\ existen\c{\it t}\breve{a}\ este\ \mathbb{R}\backslash\{-3,\ 0,\ 3\}[/tex]
Acum, vom aduna primele două fracții din enunț:
[tex]\it\ \dfrac{2}{x^2+3x} + \dfrac{3}{x^2-3x} = \dfrac{^{x-3)}2}{\ \ x(x+3)}+ \dfrac{^{x+3)}3}{\ \ x(x-3)} = \dfrac{2x-6+3x+9}{x(x+3)(x-3)} = \dfrac{5x+3}{x(x^2-9)}[/tex]
Conform enunțului, vom avea egalitatea:
[tex]\it \dfrac{5x+3}{x(x^2-9)} = \dfrac{2x}{x^2-9} |_{\cdot(x^2-9)} \Rightarrow \dfrac{5x+3}{x}=2x \Rightarrow 5x+3=2x^2 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 2x^2-5x-3=0 \Rightarrow 2x^2-6x+x-3=0 \Rightarrow 2x(x-3)+(x-3)=0 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow (x-3)(2x+1)=0 \Rightarrow \begin{cases}\it x-3=0 \Rightarrow x=3\not\in D\\ \\ \it 2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in D\end{cases}[/tex]
Deci, suma celor două fracții este egală cu a treia fracție numai pentru
o singură valoare a lui x, și anume:
[tex]\it\ x=-\dfrac{1}{2}[/tex]
