Salut,
Metoda 1, a simplificării cu ajutorul factorului comun:
[tex]E(x)=\dfrac{-5x^2-9x+2}{x^2+6x+8}=-\dfrac{5x^2+9x-2}{x^2+6x+8}=-\dfrac{5x^2+10x-x-2}{x^2+4x+2x+8}=\\\\=-\dfrac{5x(x+2)-(x+2)}{x(x+4)+2(x+4)}=-\dfrac{(x+2)(5x-1)}{(x+4)(x+2)}=-\dfrac{5x-1}{x+4}=\dfrac{1-5x}{x+4}.[/tex]
Pentru ca expresia să se poată simplifica cu x + 2, trebuie ca x ≠ 2, iar expresia finală are sens pentru x ∈ R \ {--4}.
Metoda 2 (expresia funcției de gradul al II-lea pe baza soluțiilor ecuației f(x) = 0):
Numărătorul și numitorul sunt funcții de gradul al II-lea, iar forma generală a funcției de gradul al II-lea este:
f(x) = ax² + bx + c, unde a ≠ 0.
Dacă cunoaștem soluțiile ecuației f(x) = 0, atunci funcția mai poate fi scrisă așa:
f(x) = a(x -- x₁)(x -- x₂).
Începem cu numărătorul:
f₁(x) = --5x² -- 9x + 2, deci a₁ = --5, b₁ = --9 și c₁ = 2.
Discriminantul Δ₁ este:
Δ₁ = b₁² -- 4a₁c₁ = (--9)² -- 4·(--5)·2 = 81 + 40 = 121 = 11².
Soluțiile ecuației f₁(x) = 0, sunt:
[tex]x_{1,2}=\dfrac{-b_1\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a_1}=\dfrac{-(-9)\pm\sqrt{11^2}}{2\cdot (-5)}=\dfrac{9\pm 11}{-10}.[/tex]
Din cele de mai sus avem că: x₁ = --2/--10 = 1/5 și x₂ = --2.
Așadar:
f₁(x) = (--5)·(x -- 1/5)(x + 2) = (--5x + 1)(x + 2) = (1 -- 5x)(x + 2) (1).
Mai avem numitorul:
f₂(x) = x² + 6x + 8, deci a₂ = +1, b₂ = 6 și c₂ = 8.
Discriminantul Δ₂ este:
Δ₂ = b₂² -- 4a₂c₂ = 6² -- 4·1·8 = 36 -- 32 = 4 = 2².
Soluțiile ecuației f₂(x) = 0, sunt:
[tex]x_{1,2}=\dfrac{-b_2\pm\sqrt{\Delta_2}}{2a_2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{2^2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-6\pm 2}{2}.[/tex]
Din cele de mai sus avem că: x₁ = --8/2 = --4 și x₂ = --2.
Așadar:
f₂(x) = 1·(x + 4)(x + 2) = (x + 4)(x + 2) (2).
Având în vedere relațiile (1) și (2) de mai sus, expresia E(x) din enunț devine:
[tex]E(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}=\dfrac{1-5x}{x+4}[/tex],
pentru că x + 2 s-a simplificat, în condițiile în care x nu ia valoarea --2.
Ai înțeles rezolvarea ? Care dintre metode este mai simplă, mai accesibilă, mai bună ?
Green eyes.
