Răspuns:
abcd = 2020
Explicație pas cu pas:
fie abcd numarul de 4 cifre
a,b,c,d - cifre
a ≠ 0
a, b,c,d ∈ {0,1,2,3....,9}
abcd : 7 = n , rest 4 => abcd = 7 * n + 4
Un numar sa se divide la 20 trebuie sa se divida simultam la 4 si 5
Un numar se divide la 5 daca are ultima cifra 0 sau 5 adica d ∈ {0,5}
Un numar se divide la 4 daca ultimele 2 cifre se divid la 4 => d poate fi doar 0 => d = 0; astfel c ∈ { 0,2,4,6,8}
abcd = 505 * (a + b + c + d) vom descompune in baza 10 si vom avea
1000a + 100b + 10c + 0 = 5 *101 (a + b + c + 0)
10(100a + 10b + c) = 5 *101 (a + b + c) /: 5
2(100a + 10b + c) = 101 (a + b + c)
200a + 20b +2c = 101a + 101b + 101c
200a - 101a + 2c -101c = 101b - 20b
99a - 99c = 81b / : 9
11a - 11c = 9b
a,b,c sunt cifre, iar a ≠ 0 Vom observa singura valoare pe care o poate lua b respectand conditiile problemei este zero => b = 0 =>
11a - 11c = 0 => 11a = 11 c /:11 => a = c
revenim la relatia abcd =7*n+4 si vom inlocui valorile lui d,b si c=a =>
a0a0 = 7*n+4 => a0a0 - 4 = 7 *n (asta inseamna ca numarul a0a0 - 4 trebuie sa se imparta la 7)
c ∈ { 0,2,4,6,8} dar c = a, iar a ≠ 0 => c,a ∈ {2,4,6,8}
Vom analiza pe cazuri (avem 4 cazuri de analizat)
1) daca a = 2 => c = 2 => 2020 - 4 = 2016
2016 : 7 = 288 = > 2020 - este solutie
2) daca a = 4 => c = 4 =>4040 - 4 = 4036
4036 : 7=nu se imparte exact=> NU CONVINE
3) daca a = 6 => c = 6 =>6060 - 4 = 6056
6056:7=nu se imparte exact=>NU CONVINE
1) daca a = 8 => c = 8 =>8080 - 4 = 8076
8076:7=nu se imparte exact=>NU CONVINE
Din cazurile analizate avem o singura solutiue care respecta conditiile problemei abcd = 2020
___( ^ ^ )___
QED
