👤
ERICSEBASTIANN27ZE
a fost răspuns

Spunem ca un numar natural n este deosebit daca exista numerele naturale m si p nenule diferite astfel încat n+m+p=2020 a)Aratati ca numarul 2010 este deosebit b)aratati ca numarul 2018 nu este deosebit c)aratati ca exista numere distincte deosebite x si y pentru care numarul x+y nu este deosebit Dau 100 de puncte

Răspuns :

MOSCUTEODORAZE

Datele problemei:

n - număr natural

n este "deosebit" dacă există m și p două nr. naturale distincte, diferite de 0, astfel încât

n + m + p = 2020

a) n=2010

m+p=2020-2010=10

m,p sunt nenule, diferite

10 poate fi scris ca sumă de 2 numere diferite:

10 = 1+9 = 2+8 = 3+7 = 4+6

perechile de numere (m,p) distincte, diferite de 0, pot fi: (1,9); (2,8); (3,7); (4,6); (6,4); (7,3); (8,2); (9,1) => numărul 2010 este "deosebit"

b) n = 2018

m+p=2020-2018=2

2 = 1+1 sau 0+2

dar numerele m și p trebuie să fie nenule (diferite de 0) și distincte

=> numărul 2018 NU este "deosebit"

c) un număr natural n NU este număr "deosebit" dacă diferența dintre 2020 și numărul n (care este egală cu m+p) nu se poate scrie decât ca sumă de două numere identice sau ca sumă dintre un număr nenul și 0

Numărul 0 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 0

Numărul 1 se poate scrie doar ca sumă dintre 0 și 1.

Numărul 2 se poate scrie doar ca sumă dintre 1 și 1 sau 2 și 0.

=> m+p nu poate fi 0, 1 sau 2

{ Dar m+p poate fi orice număr mai mare sau egal cu 3.

3 = 1+2 = 2+1 (factorii sumei sunt distincți și nenuli)

Observație: m+p=3, m=0 și p=3 nu convine! }

=> pentru a fi număr "deosebit", n nu poate fi 2020, 2019 sau 2018, dar poate fi orice număr natural mai mic sau egal cu 2017

x+y nu este număr "deosebit" => x+y poate fi 2018, 2019 sau 2020

x și y sunt numere "deosebite", ceea ce înseamnă că trebuie să fie diferite de 2020, 2019 și 2018

Pentru x+y=2018, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2018) sau (2018,0) sau (1009,1009).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.

Exemplu: x=420, y=1598

Pentru x+y=2019, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2019) sau (2019,0).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2019 este soluție a problemei.

Exemplu: x=421, y=1598

Pentru x+y=2020, perechile de numere distincte (x,y) NU pot fi (0,2020) sau (2020,0) sau (1010,1010).

Orice altă pereche de numere (x,y) care adunate dau 2018 este soluție a problemei.

Exemplu: x=422, y=1598

ADIDUM4ZE

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Un număr nu este deosebit în cazul prezentat (n+m+p=2020) dacă m,p sunt egale.

a) dacă n=2010

Cum  n+m+p=2020, înseamnă că m+p=10

Cum m+p=10 poate să fie scris în 9 posibilități { m,p diferit de 0 și apartine de N (numere naturale) | m,n pot sa fie numere de la 1 la 9}

Cazurile lui m,p: m=1,p=9; m=2,p=8; m=3, p=7; m=4,p=6; m=5,p=5; m=6,p=4; m=7,p=3; m=8,p=2, m=9,p=1;

Cazul m=5,p=5 este special pentru că sunt egale .

Având în vedere că avem 8 cazuri în care m și p nu sunt egale. Avem nevoie de doar de un caz ca m și p să nu fie egale ca un număr să fie deosebit, deci 2010 este un număr deosebit.

b) dacă n=2018

n+m+p=2020 => m+p=2020-n=2020-2018=2

Cum m și p sunt nenule, asta înseamnă că m=p

m+p=m+m=2m=2=> m=1=p

Asta face ca 2018 să nu fie deosebit pentru că m și p sunt egale cu 1

c) Fie x,y

x [tex]\neq[/tex] y

x,y sunt numere deosebite

Există x,y astfel încât x+y să nu fie deosebit?

Formulă n+m+p=2020.

Trebuie observate anumite lucruri precum că n nu poate fi 2019/2020 pentru că ar însemna m sau p să fie egal/egale cu 0; iar n=2018 este singurul număr care nu este deosebit pentru că e singurul caz când m și p sunt egale, respectiv cu 1. În restul cazurilor n este deosebit când este număr natural și când este mai mic de 2018.

Asta înseamnă că:

x+y=2018 (x[tex]\neq[/tex]y, x,y trebuie să fie deosebite)

Având numerele x și y ajungem la expresii precum x+xm+xp=2020 și y+ym+yp=2020, care face ca x și y să fie numere naturale .Sunt 2018 cazuri în care x+y=2018. Cazurile care trebuie evitat sunt perechea x,y să fie egală cu 0 și 2018, deoarece 2018 nu este număr deosebit și cazul în care x=y=1014 pentru că n-au voie să fie egale. În rest toate cazurile care fac ca x+y=2018, x,y < 2018 sunt bune.

Exemplu: x=1,y=2017

x+y=2018, 2018 care nu este număr deosebit din formula (n+m+p) și 1 și 2017 care sunt numere deosebite.

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Ne bucurăm să vă revedem și vă invităm să ne adăugați în lista de favorite!


Ze Schools: Alte intrebari