Răspuns:
Explicație pas cu pas:
triunghi ABC cu A = 90 de grade, si AD inaltime a triunghiului. Deci AD⊥BC.
a) Dacă ∡B≠∡C, iar AM este mediană, atunci din ΔAMD, ⇒AD<AM (cateta < ipotenuza), dar AM este mediană în ΔABC, deci AM=BC/2. Atunci AD<BC/2.
b) Dacă ∡B=∡C, atunci Mediana AM este și înălțime, deci AD=AM, deci D≡M. Atunci AD=BC/2.
c) Pentru ∡B≠∡C, avem AD<BC/2, ⇒
BC>2·AD (1)
AC>AD (2) (rezultă din ΔADC, ipotenuza > cateta)
AB>AD (3) (rezultă din ΔABD, ipotenuza > cateta)
Din (1)+(2)+(3), ⇒AB+BC+CA>2AD+AD+AD, ⇒AB+BC+CA>4·AD, ⇒
4·AD<AB+BC+CA, ⇒AD<(1/4)·(AB+BC+CA)
