Răspuns:
vezi mai jos!
Explicație pas cu pas:
Vom demonstra prin metoda inductiei matematice complete:
verificam pt primul numar din domeniu, n=1:
1*2 = 1*2*3/3 =1*2, OK
Presupunem ca este valabil enuntul pt n si vom demonstra ca el este valabil si pentru n+1(pasul de inductie):
pt n+1 avem de demonstrat ca
1*2 + 2*3 + ... + n(n+1) + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
Primii n termeni ai sumei, conform ipotezei de inductie, ne dau suma
n(n+1)(n+2)/3 si astfel nu avem decat sa inlocuim si sa efectuam calculele:
n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) =
(n+1)(n^2 + 2n + 3n + 6)/3 = (dupa scoaterea factorului comun n+1 si apoi aducere la acelasi numitor, 3)
(n+1)(n^2 + 5n + 6)/3 = (trinomul din cea de-a doua paranteza are ca radacini -2 si -3, care se vad direct cu Viete, de unde si descompunerea lui)
(n+1)(n+2)(n+3)/3, QED.
