Răspuns:
pentru a fi termenii unei progresii aritmetice tb să îndeplinească condiții precum:
1. termenul xn+1=xn+r ptr orice n (r este ratia)
sau
2. xn=(xn-1 + xn+1)/2
Explicație pas cu pas:
ptr ordinea termenilor în șir x, x^2, x^3
aplic varianta
x^2=(x+x^3)/2
pt x=0 ne da șirul constant 0 (a1=0 si ratie 0)
pt x diferit de 0
ecuația se poate simplifica prin x
x=(1+x^2)/2
adica
(x-1)^2=0
x=1
obținem un nou șir constant 1( adica o progresie aritmetică cu primul termen 1 si ratie 0)
ptr ordinea x^2, x, x^3
condiția va impune
x=(x^2+x^3)/2
1=(x+x^2)/2
x^2+x-2=0 cu x1= -2 și x2= 1
avem a1=x^2=4, a2= -2, a3= -8 deci ratia este r= -6
cazul cu a1=1 l am avut anterior
ptr ordinea x, x^3, x^2
x^3=(x+x^2)/2
2x^2=1+x
cu soluțiile
x1= -1/2 x2= 1
avem a1= -1/2 a2= -1/8 a3=1/4
deci ratia este r= 3/8
a fel se gândesc ultimele trei posibilitati de aranjare a termenilor în sir:
x^2, x^3, x^2
x^3, x, x^2
x^3, x^2, x
