Răspuns:
[tex]n=2^{0} +2^{1} +2^{2} +2^{3} +...+2^{12} \\uc(n)=1[/tex]
n nu este divizibil cu 10
Explicație pas cu pas:
Ne reamintim ultima cifra a puterilor lui 2:
[tex]uc(2^{4k+1}) = 2\\uc(2^{4k+2}) = 4\\uc(2^{4k+3}) = 8\\uc(2^{4k+4}) = 6[/tex]
pentru oricare k≥1, k∈N
De aici rezulta ca
[tex]uc(n)=uc(2^{0} )+uc(2^{1} )+uc(2^{2} )+...+uc(2^{12} )\\uc(n)=1+2+4+8+6+...[/tex]
Il lasam pe 1 deoparte si grupam cate 4 termeni (2+4+8+6) corespunzatori puterilor lui 2 de ordin 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4
Trebuie sa aflam daca la sfarsitul sirului ne mai raman termeni negrupati. Pentru asta trebuie sa aflam de ce forma este ultima putere a lui 2. Impartim pe 12 la 4 si obtinem:
12 : 4 = 4*3, adica 12 este de forma 4k sau (4k+4)
Tragem concluzia ca toti termenii sunt grupati.
Suma unei grupe este:
2+4+8+6 = 20, deci uc(grupa) = 0
uc(n) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1
deoarece uc(0) = 1 rezulta ca n nu este divizibil cu 10
