Răspuns:
[tex]x=\frac{50}{51}[/tex] =>[tex]\sqrt{x} =\frac{5\sqrt{102} }{51}[/tex]
Explicație pas cu pas:
x=[tex]\frac{1}{1*2} +\frac{1}{2*3} +... +\frac{1}{50*51}[/tex]
pentru a il calcula pe x, trebuie sa lucram fiecare fractie individual. Observam ca diferenta dintre factorii numitorului este de 1, exact numaratorul.
[tex]\frac{1}{1*2}=\frac{2-1}{1*2} =\frac{2}{1*2} -\frac{1}{1*2}=1-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2*3}=\frac{3-2}{2*3}=\frac{3}{2*3} -\frac{2}{2*3} =\frac{1}{2} -\frac{1}{3}[/tex]
.....................
[tex]\frac{1}{50*51}=\frac{51-50}{50*51}=\frac{51}{50*51} -\frac{50}{50*51}=\frac{1}{50} - \frac{1}{51}[/tex]
_____________ Adunam pe coloane
[tex]\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3} + ... + \frac{1}{50*51} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50} -\frac{1}{51}[/tex]
Observam ca ce se afla in stanga egalului este exact x. In dreapta, avem grupari de aceiasi termeni cu semn contrat care se reduc (spre exemplu, -1/2 si +1/2, care fac 0)
=> [tex]x=1-\frac{1}{51}[/tex] <=> [tex]x=\frac{51-1}{51}=\frac{50}{51}[/tex]
[tex]\sqrt{x} =\sqrt{\frac{50}{51} } =\frac{\sqrt{50} }{\sqrt{51} }=\frac{5*\sqrt{2}*\sqrt{51} }{51} =\frac{5\sqrt{102} }{51}[/tex]
