Răspuns:
p(x) = x^3 + 3x^2 + 8x + 6 div. cu 6
Demonstram prin inductie.
I Pt x = 0, p(0) = 6 div. cu 6, adevarat
II Demonstram p(k) implica p(k + 1)
p(k) : k^3 + 3k^2 + 8k + 6 div. cu 6
p(k + 1) : (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 8(k+1) + 6 div. cu 6
p(k + 1): k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 8k + 8 + 6 div. cu 6
p(k + 1) : k^3 + 3k^2 + 11k + 15 + 3k^2 + 6k + 3 div. cu 6
p(k + 1): k^3 + 6k^2 + 17k + 18 div. cu 6 (forma restransa)
p(k + 1): (k^3 + 3k^2 + 8k + 6) + (3k^2 + 9k + 12) div. cu 6
Prima paranteza stim ca este div. cu 6 din p(k), trebuie demonstrat ca a doua paranteza este div. cu 6.
3k^2 + 9k + 12 = 3(k^2 + 3k + 4). Trebuie demonstrat ca (k^2 + 3k + 4) este div. cu 2.
k^2 + 3k + 4 = k(k + 3) + 4. 4 este div. cu 2, deci trebuie demonstrat ca k(k+3) este div. cu 2, ceea ca este adevarat pt ca k si (k+3) au paritati diferite.
Concluzie : am demonstrat ca 3k^2 + 9k + 12 este div. cu 6 => (k^3 + 3k^2 + 8k + 6) + (3k^2 + 9k + 12) este div. cu 6, deci p(k) implica p(k + 1), deci am demonstrat inductia.
P.S. Ai grija cum redactezi sa se inteleaga.
